miércoles, 27 de agosto de 2008

factorizacion

Factorización:
En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto; (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio). En el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo: el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética; factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.
Para factorizar un monomio solo se debe de llevar los números y/o letras a sus factores, o sea, que si los multiplicas entre sí, su resultado será el monomio inicial.
Otra versión es:
Factorizar significa descomponer en dos o más componentes. Por ejemplo: Factorizar los siguientes números 15= 3x 5 27=3 x 9 99 = 9 x 11 6 = 3 x 2 y así En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones. Como por ejemplo: Diferencia de Cuadrados: Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y) (X + Y) Y esa es la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos. 4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y) 25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y) c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y) De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo: 9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2) 121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9) 64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4) Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por ejemplo: 5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2) 9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5) 11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8) 125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94) (a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)} Respuesta.

Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Por adición o substracción.Veamos un ejemplo Factorizar a4+ a² +1 (Perdón ese 4 es exponente lo exprese así por que no hay exponente 4 en mi editor) Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer termino de lo que quedaría (a² +1 )² pero si desarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a². Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión. Entonces : a4+ a² +1 = (a ² +1 )² - a² = (a ² +1+ a) - (a²+1 - a) Respuesta De manera semejante se resuelven estos ejercicios Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 = Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer termino ( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4 + 81 n8 Faltan -25m2n4 ( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta Factorizar a4- 16 a² b²+36 b4 = ( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y² ( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta Factorizar x4+ 2x² y²+y4 Realizando operaciones ( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y² ( x² - y²)² - 4x²y² = (x² - y² +2xy ) (x² - y² +2xy )
Factorizar un polinomio. Antes que nada hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar. Y, como los polinomios son tan diferentes entre si, no hay una forma única de factorizarlos.
Binomios, Diferencia de Cuadrados, Suma o Diferencia de Cubos, Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales, Trinomios, Trinomio Cuadrado Perfecto, Polinomios, Factor Común
Caso I -Factor Común. Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
El factor común como su nombre lo dice es el factor que tienen en común todos los términos de un polinomio, se obtiene factorizando totalmente cada término se calcula el Máximo Común Denominador (MCD), esta expresión será el factor común del polinomio. En monomios o números se debe hacer lo mismo solo que ahora factorizaremos el coeficiente numérico, y volvemos a calcular el MCD, para obtener el factor común. Su fórmula es:
Factor común monomio. Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a(b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
Factor común polinomio.
c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)(c + d + e)
Caso II -factor común por agrupación de términos. Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir, ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)
x2 + bx + c
Caso III-Trinomio cuadrado perfecto. Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo:
(5x − 3y)2=25x2 − 30xy + 9y2
(3x + 2y)2=9x2 + 12xy + 4y2
(x + y)2=x2 + 2xy + y2
4x2 + 25y2 − 20xy
Organizando los términos tenemos
4x2 − 20xy + 25y2
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
(2x − 5y)2
Caso IV-Diferencia de cuadrados. Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo:
(3y2) − (2x2)
(3y-2x)(3y+2x)
Caso V-Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV.
Caso VI-Trinomio de la forma x2 + bx + c. Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) = a2 + 2a − 15 = (a + 5)(a − 3)

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