limite matematico

Límite matemático:
En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.
Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.
Límite de una sucesión:
Definidos: que tienden a un punto. Indefinidos: cuando tiende a infinito
La definición del límite en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x va a . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), y escribimos
Si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota.
Informalmente, decimos que el límite de la funcion f(x) es L cuando x tiende a p, y escribimos
si se puede encontrar suficientemente cerca de tal que es tal que decimos que:
Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas:
[ Refiere al límite a infinito y 0 al límite a 0 (no al número 0)]
Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes: , , ,
Propiedades de los límites:
(al igual que su recíproca)
(al igual que su recíproca)
(al igual que su recíproca)
<=> f(x) acotada y g(x) infinitésimo
Límite de una sucesión:
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una secuencia que converge hacia un punto llamado límite.
En forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.
Definición formal:
Para una sucesión de puntos en un espacio métrico M con función de distancia d
(Como por ejemplo, una sucesión de números racionales, números reales, números complejos, puntos en un espacio normado, etc.):
Si se dice que L es el límite de la sucesión y se escribe
Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos en un espacio topológico T:
Si se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe
Si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que para todo N.
Si una sucesión tiene límite, se dice que la sucesión es convergente, y que la sucesión converge al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. (La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no, implica en general, que la sucesión tenga un límite.
Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes, pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).
Ejemplos:
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reales converge al límite 0.
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1. Este es un ejemplo de una serie infinita.
Si a es un número real con valor absoluto a < 1, entonces la sucesión an posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
Propiedades:
a) Si una sucesión (an) tiene límite I positivo, existe un término a partir del cual
Todos los términos de la sucesión son positivos.
b) Si una sucesión (an) tiene límite I negativo, existe un término a partir del cual
Los términos de la sucesión son negativos.
c) Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.