simplificaciones

Simplificar, suprimiendo los signos de agrupacion y reducidos terminos semejantes:
2a+[a-(a+b)]
2a+[a-a-b]
2a+a-a-b
2a-b
------ ____
3x-[x+y-2x+y]
3x-[x+y-2x-y]
3x-x-y+2x+y
4x
------
2m-[(m-n)-(m+n)]
2m-[m-n-m-n]
2m-m+n+m+n
2m+2n
------
a+{(-2a+b)-(-a+b-c)+a}
a+{-2a+b+a-b+c+a}
a-2a+b+a-b+c+a
a+c
----- __ ____
4m-[2m+n+3]+[-4n-2m+1]
4m-[2m+n-3]+[-4n-2m-1]
4m-2m-n+3-4n-2m-1
2-5n
-----
2x+[-5x-(-2y+{-x+y})]
2x+[-5x-(-2y-x+y)]
2x+[-5x+2y+x-y]
2x-5x+2y+x-y
y-2x
-----

signos matematicos

SIGNOS DE AGRUPACION:

Los signos de agrupacion o parentesis son de cuatro clases: el parentesis ordinario ( ), el parentesis angular o corchete [ ], las llaves { } el vinculo a barra ________ .

USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION:

Los signos de agrupacion se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad.

Asi, a+(b-c), que equivale a a+(+b-c), indica que la diferencia b-c debe de sumarce con a, y ya sabemosque para efectuar esta suma escribimos a continuacion de a las demas cantidades con su propio signo y tendremos: a+(b-c)=a+b-c

la expresion x+(-2y+z) indica que a x hay que simarle -2y+z con sus propios signos y tendremos: x+(-2y+z)=x-2y+z

REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION:

1.- para suprimir signos de agrupacion precedidos del signo + se deja el mismo signo que tenga a cada uno de las cantidades que se alla dentro de el.

2.- para suprimir signos de agrupacion precedidos del signo-se cambia el signo a cada una de las cantidades que se alla dentro de el.

ejemplo:

a+(b-c)+2a-(a+b)

esta expresion equivale a:

+a+(+b-c)+2a-(+a+b)

se suprime y queda

a+(b-c)+2a-(a+b)

a+b-c+2a-a-b

2a-c

___

simplificar la expresion: 3a+{-5x-[-a+(9x-a+x)]} hay que suprimir el vinculo y quedaria asi:

= 3a+{-5x-[-a+(9x-a-x)]}

suprimir el parentesis = 3a+{-5x-[-a+9x-a-x]}

suprimir el corchete = 3a+{-5x+a-9x+a+x}

suprimir llaves = 3a-5x+a-9x+a+x

reducir terminos = 5a-13x

----------

simplificar la expresion: -[-3a-{b+[-a+(2a-b)-(-a+b)]+3b}+4a]

= -[-3a-{b+[-a+2a-b+a-b]+3b}+4a]

= -[-3a-{b-a+2a-b+a-b+3b}+4a]

= -[-3a-b+a-2a+b-a+b-3b+4a]

= 3a+b-a+2a-b+a-b+3b-4a

= a+2b

----------

POLINOMIO:

En matematicas un polinomio es una expresion matematica que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.
x2 - 4x+7 es un polinomio.
Debe mencionarse en particular que la división por una expresión que contiene una variable no es un polinomio sino una fundacion racional.
Por extensión las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase importante de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

Variables matematicas

Que es una variable independiente?

Variable que puede cambiar libremente su valor, así como el primero, sin que su valor se vea afectado por alguna otra(s) variable(s). Generalmente, una variable independiente es la entrada de una función y normalmente se denota por el símbolo x, en tanto que frecuentemente y se reserva para la variable dependiente.
Por ejemplo, en y = f(x) = x 2, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Se permite que la variable x cambie libremente, en tanto que el valor de y tiene que cambiar conforme cambia x.

las variables independientes son: la x; la y; y, la z, en la expresión genérica:
m = f(x,y,z)
La m es la variable dependiente.

Que es una variable dependiente?
Número resultado de una función. Su valor depende de la función dada y el (los) valor(es) elegido(s) para la(s) variable(s) independiente(s).
Por ejemplo, en y = f(x) = 2 x, x es la variable independiente, y y es la variable dependiente. Se tiene la libertad de elegir cualquier valor para x mientras se encuentre en el dominio de la función. Sin embargo, el valor de y tiene que cambiar conforme cambia x. Si x = 1, y = 2 x = 2.

Dominio de una variable:

Conjunto básico de números o cantidades que se pueden identificar en un segundo conjunto.
En álgebra elemental, el dominio de una función y = f(x) es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. Por ejemplo, si y = f(x) = arc sen (x), entonces el dominio se podría definir como todos los números cuyo valor absoluto es de no más de 1, esto es, x <>

Función:
Cualquier procedimiento o regla definida que puede cambiar a, o ubicar cada miembro de un conjunto en un miembro de otro conjunto.

Variable:
Símbolo que representa una cantidad desconocida. Cuando hacemos una ecuación matemática a partir de una declaración ordinaria utilizando una(s) variable(s), mecaniza y automatiza el proceso del pensamiento, facilitando mucho el proceso de solución.

Definicion de la pendiente:

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia.)
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos: m=x1,x2/x2,y2

La pendiente en la ecuacion de la recta:

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:
entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta intersecta al eje Y, es decir, el valor de y cuando x = 0. Este valor también es llamado ordenada al origen.
Si la pendiente m de una recta y el punto (x0,y0) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:
Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta recta tiene pendiente. m= (20-8)/(3-2)=12 Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta recta usando la fórmula antes mencionada: y-8=12(x-2)=12x-24 y=12x-16

La pendiente de la recta en la fórmula general:
Ax+By+C=0

está dada por: -A/B

factorizacion

Factorización:

En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto; (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio). En el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo: el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética; factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.
Para factorizar un monomio solo se debe de llevar los números y/o letras a sus factores, o sea, que si los multiplicas entre sí, su resultado será el monomio inicial.

Otra versión es:
Factorizar significa descomponer en dos o más componentes. Por ejemplo: Factorizar los siguientes números 15= 3x 5 27=3 x 9 99 = 9 x 11 6 = 3 x 2 y así En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones. Como por ejemplo: Diferencia de Cuadrados: Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y) (X + Y) Y esa es la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos. 4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y) 25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y) c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y) De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo: 9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2) 121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9) 64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4) Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por ejemplo: 5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2) 9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5) 11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8) 125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94) (a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)} Respuesta.

Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Por adición o substracción.Veamos un ejemplo Factorizar a4+ a² +1 (Perdón ese 4 es exponente lo exprese así por que no hay exponente 4 en mi editor) Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer termino de lo que quedaría (a² +1 )² pero si desarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a². Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión. Entonces : a4+ a² +1 = (a ² +1 )² - a² = (a ² +1+ a) - (a²+1 - a) Respuesta De manera semejante se resuelven estos ejercicios Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 = Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer termino ( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4 + 81 n8 Faltan -25m2n4 ( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta Factorizar a4- 16 a² b²+36 b4 = ( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y² ( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta Factorizar x4+ 2x² y²+y4 Realizando operaciones ( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y² ( x² - y²)² - 4x²y² = (x² - y² +2xy ) (x² - y² +2xy )

Factorizar un polinomio. Antes que nada hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar. Y, como los polinomios son tan diferentes entre si, no hay una forma única de factorizarlos.
Binomios, Diferencia de Cuadrados, Suma o Diferencia de Cubos, Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales, Trinomios, Trinomio Cuadrado Perfecto, Polinomios, Factor Común
Caso I -Factor Común. Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
El factor común como su nombre lo dice es el factor que tienen en común todos los términos de un polinomio, se obtiene factorizando totalmente cada término se calcula el Máximo Común Denominador (MCD), esta expresión será el factor común del polinomio. En monomios o números se debe hacer lo mismo solo que ahora factorizaremos el coeficiente numérico, y volvemos a calcular el MCD, para obtener el factor común. Su fórmula es:
Factor común monomio. Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a(b + c + d)
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
Factor común polinomio.
c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)(c + d + e)
Caso II -factor común por agrupación de términos. Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir, ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+d) (b+c)
x2 + bx + c
Caso III-Trinomio cuadrado perfecto. Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo:
(5x − 3y)2=25x2 − 30xy + 9y2
(3x + 2y)2=9x2 + 12xy + 4y2
(x + y)2=x2 + 2xy + y2
4x2 + 25y2 − 20xy
Organizando los términos tenemos
4x2 − 20xy + 25y2
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
(2x − 5y)2
Caso IV-Diferencia de cuadrados. Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo:
(3y2) − (2x2)
(3y-2x)(3y+2x)
Caso V-Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV.
Caso VI-Trinomio de la forma x2 + bx + c. Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) = a2 + 2a − 15 = (a + 5)(a − 3)

Algebra

Algebra:

rama de la matematica que estudia la cantidad considerada del modo mas general posible.

Caracter del algebra y su diferencia con la aritmetica.

el concepto de la cantidad en algebra es mucho mas amplio que en aritmetica.

en aritmetica las cantitades se representan por numeros y estos expresan valores determinados. Asi, 20 expresa un valor: VEINTE;para expresar un valor mayor o menor que este habra que escribir un numero distinto de 20.

en algebra, para lograr la generalizacion, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Asi a representa el valor que nosotros le asignamos, y por lo tanto puede representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra eleccion, aunque conviene advertir que en cuanto a un problema asignamos a una letravalor determinado, esta no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le emos asignado.

Notacion algebraica:

los simbolos usados del algebra para representar las cantidades son los numeros y las letras.

los numeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadasa. las letras se emplean para representartoda clase de cantidades, ya sea conocidas o desconocidas.

las cantidades conocidas se expresan por las primeras letrasletras del alfabeto: a, b, c, d, .....

las cantidades desconocidas se representan por las ultimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z, .....

una misma letra puederepresentar distintos valores diferenciados por medio de comillas; por ejem.: a', a", a"', que se leen a primera, segunda, tercera, o tambien por medio de subindices; por ejemplo: a1, a2, a3 que se leen a subuno, subdos, subtres.

Signos del algebra:

los signos empleados en angebrason de tres clases: signos de operacion, de relacion, y de agrupacion.

Coeficiente:

en el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.

asi, el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a=a+a+a. en el producto 5b, el factor 5 es coeficientede b e indica que 5b=b+b+b+b+b. estos son coeficientes numericos.

leyes de signos:

+ x +=+ + x -=- - x -=+ - x +=-
leyes de los exponentes:

para multiplicar de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.